符号动力学熵(Symbolic dynamic Entropy)

基本原理

给定长度为 \(N\) 的时间序列 \(\left\{ {u\left( i \right),1 \le i \le N} \right\}\) ，符号动力学熵的计算步骤如下：

采用最大熵划分(MEP)对时间序列在振幅域上进行符号化。时间序列的元素转换为符号 \({\sigma _i}\left( {i = 1,2, \cdots ,\varepsilon } \right)\) 。可以得到符号化后的时间序列 \(Z\left\{ {z\left( k \right),k = 1,2, \cdots ,N} \right\}\) 。
对符号化时间序列进行相空间重构并计算可能的状态模式概率。嵌入维数为 \(m\) ，时间延迟为 \(\lambda\) 时，\(Z\left\{ {z\left( k \right),k = 1,2, \cdots ,N} \right\}\) 重构相空间后可以得到一系列的嵌入向量：

\[Z_j^{m,\lambda }\left\{ {z\left( j \right),z\left( {j + 1 \times \lambda } \right), \cdots ,z\left( {j + \left( {m - 1} \right) \times \lambda } \right)} \right\},j = 1,2, \cdots ,N - \left( {m - 1} \right)\lambda \tag{1}\]

重要

向量 \(Z_j^{m,\lambda }\) 有 \(m\) 个元素，每个元素有 \(\varepsilon\) 个可能的符号，因此共有 \({\varepsilon ^m}\) 种可能的状态模式。向量的状态可以表示为 \(q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }\left( {a = 1,2, \cdots ,{\varepsilon ^m}} \right)\) 。因此，可能的状态模式的概率 \(P\left( {q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right)\) 可以按如下计算:

\[P\left( {q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right) = \frac{{\left\| {\left\{ {j:j \le N - \left( {m - 1} \right)\lambda ,type\left( {Z_j^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right) = q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right\}} \right\|}}{{N - \left( {m - 1} \right)\lambda }} \tag{2}\]

构造状态转移并计算状态转移概率。状态转移指的是符号化的时间序列会从一个状态转移到下一个状态(包括自循环)。当状态模式为 \(q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }\left( {a = 1,2, \cdots ,{\varepsilon ^m}} \right)\) ，转移到下一个状态状态转移概率为符号 \({\sigma _b}\left( {b = 1,2, \cdots ,\varepsilon } \right)\) 的条件概率，如下:

\[P\left( {{\sigma _b}|q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right) = P\left\{ {z\left( {j + m\lambda } \right) = {\sigma _b}|j:j \le N - m\lambda ,type\left( {Z_j^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right) = q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right\} \tag{3}\]

重要

其中 \(a = 1,2, \cdots ,{\varepsilon ^m}\) ，\(b = 1,2, \cdots ,\varepsilon\) ，\(\varepsilon\) 为符号数，\({\varepsilon ^m}\) 为状态数。状态概率满足条件 \(\sum\limits_{b = 1}^\varepsilon {P\left( {{\sigma _b}|q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right)} = 1\) 。 \(P\left( {{\sigma _b}|q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right)\) 可以表示为:

\[P\left( {{\sigma _b}|q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right) = \frac{{\left\| {\left\{ {j:j \le N - m\lambda ,type\left( {Z_j^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right) = q_a^{\varepsilon ,m,\lambda },z\left( {j + m\lambda } \right) = {\sigma _b}} \right\}} \right\|}}{{N - m\lambda }} \tag{4}\]

符号动力学熵定义为状态熵和状态转移熵的和，表示为:

\[SDE\left( {X,m,\lambda ,\varepsilon } \right) = - \sum\limits_{a = 1}^{{\varepsilon ^m}} {P\left( {q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right)\ln P\left( {q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right)} - \sum\limits_{a = 1}^{{\varepsilon ^m}} {\sum\limits_{b = 1}^\varepsilon {P\left( {q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right)\ln \left( {P\left( {q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right)P\left( {{\sigma _b}|q_a^{\varepsilon ,m,\lambda }} \right)} \right)} } \tag{5}\]

符号化熵的最大值为 \(\ln \left( {{\varepsilon ^{m + 1}}} \right)\) ，这时表示所有的状态概率和状态转移概率有都相同的值 \(\left( P\left( q_{a}^{\varepsilon ,m,\lambda } \right)={1}/{{{\varepsilon }^{m}}}\;,P\left( {{\sigma }_{b}}|q_{a}^{\varepsilon ,m,\lambda } \right)={1}/{\varepsilon }\; \right)\) 。可以得到标准化处理后的符号动力学熵表示为:

\[SDE\left( X,m,\lambda ,\varepsilon \right)={SDE\left( X,m,\lambda ,\varepsilon \right)}/{\ln \left( {{\varepsilon }^{m+1}} \right)} \tag{6}\]

备注

符号动力学熵是由Li等人 1，提出的，建议的参数选择为：

嵌入维度 \(m = 3\)
符号数 \(\varepsilon = 12\)
时间延迟 \(\lambda = 1\)

代码实现

这里假设您已经获得本项目的的所有代码，若您此时还未获得有关程序，请移步到安装说明

符号动力学熵(Symbolic dynamic Entropy)的核心程序为 MultiscaleSymbolicDynamicEntropy

function MSDE=MultiscaleSymbolicDynamicEntropy(data,m,Sym,scale)

   MSDE=[];
   data=data';
   for j=1:scale
      Xs = Multi(data,j,2);
      SDE=SymbolDynamicEntropy(Xs,m,Sym);
      MSDE=[MSDE,SDE];
   end
 end

重要

各输入参数的信息如下：

data：输入的时间序列，为列向量
m :嵌入维度
Sym :符号序列
scale :尺度比

仿真验证

符号动力学熵的脉冲检测结果

多尺度符号动力学熵的故障分类可视化结果

抗噪性分析

计算效率结果

1

Li, Y. Yang, G. Li, M. Xu, and W. Huang, “A fault diagnosis scheme for planetary gearboxes using modified multi-scale symbolic dynamic entropy and mRMR feature selection,” Mech. Syst. Signal Process., vol. 91, pp. 295–312, Jul. 2017, doi: 10.1016/j.ymssp.2016.12.040.

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