近似熵(Approximate Entropy)

基本原理

给定长度为 \(\left\{ {x\left( i \right),i = 1,2, \cdots ,N} \right\}\) 的时间序列 \(\left\{ {x\left( i \right),i = 1,2, \cdots ,N} \right\}\)，近似熵的计算步骤如下：

  1. 对 \(X\) 重构相空间，嵌入维度为 \(m\) ，形成 \(m\) 维的向量序列:，可以表示为:

\[\left\{ {X\left( 1 \right),X\left( 2 \right), \cdots ,X\left( {N - m + 1} \right)} \right\},X\left( i \right) = \left\{ {x\left( i \right),x\left( {i + 1} \right), \cdots ,x\left( {i + m - 1} \right)} \right\},1 \le i \le N - m + 1 \tag{1}\]

  1. 定义 \(d\left[ {X\left( i \right),X\left( j \right)} \right]\) 是向量 \(X\left( i \right)\) 和 \(X\left( j \right)\) 的切比雪夫距离，即两个向量对应元素之间差值绝对值的最大值:

\[d\left[ {X\left( i \right),X\left( j \right)} \right] = \mathop {\max }\limits_{k = 0,1, \cdots ,m - 1} \left[ {\left| {x\left( {i + k} \right) - x\left( {j + k} \right)} \right|} \right] \tag{2}\]

对于 \(X\left( i \right),1 \le i \le N - m + 1\)，需要计算其与剩余其他向量 \(X\left( j \right),1 \le j \le N,j \ne i\) 之间的 \(d\left[ {X\left( i \right),X\left( j \right)} \right]\)。因此对任意 \(X\left( i \right)\) 都有 \(N - m\) 个距离 。

  1. 给定阈值 \(r\) ，对于所有的 \(X\left( i \right)\) ，统计 \(d\left[ {X\left( i \right),X\left( j \right)} \right]\) 中小于阈值 \(r\) 的数量，然后这个数量与总距离数 \(N - m\) 的比值记为:

\[C_i^m\left( r \right) = \frac{{{\rm{number}}\left\{ {i|1 \le i \le N - m + 1,d\left[ {X\left( i \right),X\left( j \right)} \right] < r} \right\}}}{{N - m}} \tag{3}\]

  1. 对 \(C_i^m\left( r \right)\) 取对数，然后计算所有 \(N - m + 1\) 个 的均值，记为:

\[{\phi ^m}\left( r \right) = \frac{1}{{N - m + 1}}\sum\limits_{i = 1}^{N - m + 1} {\ln C_i^m\left( r \right)} \tag{4}\]

  1. 将嵌入维度增加到 \(m + 1\)，重复以上步骤1-步骤4，得到 \(C_i^{m + 1}\left( r \right)\) 和 \({\phi ^{m + 1}}\left( r \right)\)。

  2. 理论上，近似熵可以被计算为：

\[ApEn\left( {m,r} \right) = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left[ {{\phi ^m}\left( r \right) - {\phi ^{m + 1}}\left( r \right)} \right] \tag{5}\]

由于实际信号的 不能趋近于无穷大，有限序列的近似熵定义为:

\[ApEn\left( {m,r,N} \right) = {\phi ^m}\left( r \right) - {\phi ^{m + 1}}\left( r \right) \tag{6}\]

备注

This is a note admonition. 近似熵是由Pincus[1]提出的，建议的参数选择为：

  • 嵌入维度 \(m=2\)

  • 容限 \(r\) 一般取 0.1~0.2 倍时间序列的标准差（SD）。在后续的仿真验证中，我们选择 \(r = 0.15 \times {\rm{SD}}\) 。

代码实现

这里假设您已经获得本项目的的所有代码，若您此时还未获得有关程序，请移步到 安装说明

近似熵(Approximate Entropy)的核心程序为 ApproximateEntropy

function AE=ApproximateEntropy(data,m,r)  % 输入的时间序列data为列向量即可
    AE=ApproximateEntropy1(data,m,r);
end

仿真验证

近似熵的脉冲检测结果

近似熵的脉冲检测结果

多尺度近似熵的故障分类可视化结果

多尺度近似熵的故障分类可视化结果