样本熵(Sample entropy)

基本原理

设有长度为 \(N\) 的时间序列 \(X = \left\{ {x\left( 1 \right),x\left( 2 \right), \cdots ,x\left( N \right)} \right\}\) ，样本熵的计算步骤如下：

将时间序列 \(X\) 重构相空间，形成向量序列 \(\left\{ {{x_m}\left( 1 \right),{x_m}\left( 2 \right), \cdots ,{x_m}\left( {N - m + 1} \right)} \right\}\) ，嵌入维度也就是向量的维度为 \(m\) ，其中:

\[{x_m}\left( i \right) = \left\{ {x\left( i \right),x\left( {i + 1} \right), \cdots ,x\left( {i + m - 1} \right)} \right\},1 \le i \le N - m + 1 \tag{1}\]

定义距离 \(d\left[ {{x_m}\left( i \right),{x_m}\left( j \right)} \right]\) 为向量 \({x_m}\left( i \right)\) 和 \({x_m}\left( j \right)\) 对应元素差值绝对值的最大值，即切比雪夫距离:

\[d\left[ {{x_m}\left( i \right),{x_m}\left( j \right)} \right] = \mathop {\max }\limits_{k = 0, \cdots ,m - 1} \left( {\left| {x\left( {i + k} \right) - x\left( {j + k} \right)} \right|} \right) \tag{2}\]

给定容限 \(r\) ，对于固定的 \({x_m}\left( i \right)\) ，统计其与 \({x_m}\left( j \right)\) 之间的距离满足 \(d\left[ {{x_m}\left( i \right),{x_m}\left( j \right)} \right] \le r,j \ne i\) 的距离个数记为 \({B_i}\) ，总的距离数为 \(N - m\) ，定义:

\[B_i^m\left( r \right) = \frac{1}{{N - m}}{B_i} \tag{3}\]

对 \(1 \le i \le N - m + 1\)，定义 \({B^m}\left( r \right)\) 为

\[{B^m}\left( r \right) = \frac{1}{{N - m + 1}}\sum\limits_{i = 1}^{N - m + 1} {B_i^m\left( r \right)} \tag{4}\]

将维数 \(m\) 增加到 \(m+1\) ，重复以上（步骤1-步骤4），得到 \({B^{m + 1}}\left( r \right)\)
样本熵可以被定义为:

\[SampEn\left( {m,r} \right) = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left\{ { - \ln \left[ {\frac{{{B^{m + 1}}\left( r \right)}}{{{B^m}\left( r \right)}}} \right]} \right\} \tag{5}\]

由于实际信号的 \(N\) 不能趋近于无穷大，因此有限序列的样本熵定义为:

\[SampEn\left( {m,r,N} \right) = - \ln \left[ {\frac{{{B^{m + 1}}\left( r \right)}}{{{B^m}\left( r \right)}}} \right] \tag{6}\]

备注

This is a note admonition.: 样本熵是由Richman等人 1，提出的，建议的参数选择为：

嵌入维度 \(m=2\)
容限 \(r\) 一般取 0.1~0.25 倍时间序列的标准差（SD）。在后续的仿真验证中，我们选择 \(m=2\) , \(r = 0.15 \times {\rm{SD}}\) 。

代码实现

这里假设您已经获得本项目的的所有代码，若您此时还未获得有关程序，请移步到安装说明

样本熵(Sample entropy)的核心程序为 ApproximateEntropy

 function SE=SampleEntropy(data,m,r)  % 输入的时间序列data为列向量即可
   SE=SampleEntropy1(data,m,r);
end

重要

各输入参数的信息如下：

data：输入的时间序列，为列向量
r : 容限
m :嵌入维度

仿真验证

样本熵的脉冲检测结果

多尺度样本熵的故障分类可视化结果

抗噪性分析

计算效率结果

1

1. Richman and J. R. Moorman, “Physiological time-series analysis using approximate entropy and sample entropy,” Am. J. Physiol.-Heart Circ. Physiol., vol. 278, no. 6, pp. H2039–H2049, Jun. 2000, doi: 10.1152/ajpheart.2000.278.6.H2039.

|装备智能运维实验室