排列熵(Permutation Entropy)

基本原理

设有长度为 \(N\) 的时间序列 \(\left\{ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_N}} \right\}\) ，排列熵的计算步骤如下：

将时间序列进行相空间重构，嵌入维度为 \(m\) ，形成向量序列 \(\left\{ {{x_1}\left( m \right),{x_2}\left( m \right), \cdots ,{x_{N - m + 1}}\left( m \right)} \right\}\) ，其中:

\[{x_i}\left( m \right) = \left\{ {x\left( i \right),x\left( {i + 1} \right), \cdots ,x\left( {i + m - 1} \right)} \right\},1 \le i \le N - m + 1 \tag{1}\]

每个向量 \({x_i}\left( m \right)\) 内元素排列的顺序模式记为 \({\pi _j}\)。嵌入维度为 \(m\)，则一共有 \(m!\) 种顺序模式。统计每种顺序模式 \(\left\{ {{\pi _j}} \right\}_{j = 1}^{m!}\) 出现的概率，记为:

\[p\left( {{\pi _j}} \right) = \frac{{\left\| {i:i \le N - m + 1,type\left( {{x_i}\left( m \right)} \right) = {\pi _j}} \right\|}}{{N - m + 1}} \tag{2}\]

小技巧

例如当 \(m = 3\) 时，向量内的元素由小到大记为 \(0，1，2\) ，共有 \(m! = 6\) 种顺序模式 \((012,021,102,120,201,210)\) 。对于向量 \({x_1}\left( 3 \right) = \left( {8,12,6} \right),{x_2}\left( 3 \right) = \left( {9,3,8} \right)\)，有 \({x_1}\left( 3 \right)\) 的顺序模式为 \(\pi = 120\) ，\({x_2}\left( 3 \right)\) 的顺序模式为 \(\pi = 201\) 。

排列熵定义为:

\[PE\left( {m,N} \right) = - \sum {p\left( {{\pi _j}} \right)\log p\left( {{\pi _j}} \right)} \tag{3}\]

归一化处理后为:

\[PE\left( {m,N} \right) = - \frac{1}{{\log \left( {m!} \right)}}\sum {p\left( {{\pi _j}} \right)\log p\left( {{\pi _j}} \right)} \tag{4}\]

备注

排列熵是由Bandt等人 1，提出的，建议的参数选择为：

嵌入维度 \(m = 3 \sim 7\) ,在后续的仿真验证中，我们选择 \(m = 6\) 。

代码实现

这里假设您已经获得本项目的的所有代码，若您此时还未获得有关程序，请移步到安装说明

排列熵(Permutation entropy)的核心程序为 MultiscalePermutationEntropy

function MPE = MultiscalePermutationEntropy(data,m,t,scale)
    MPE=[];
   for j=1:scale
       Xs = Multi(data,j);
       PE = PermutationEntropy(Xs,m,t);
       MPE=[MPE,PE];
   end
end

重要

各输入参数的信息如下：

data：输入的时间序列，为列向量
m :嵌入维度
r : 容限
scale :尺度比

仿真验证

排列熵的脉冲检测结果

多尺度排列熵的故障分类可视化结果

抗噪性分析

计算效率结果

1

Bandt and B. Pompe, “Permutation Entropy: A Natural Complexity Measure for Time Series,” Phys. Rev. Lett., vol. 88, no. 17, p. 174102, Apr. 2002, doi: 10.1103/PhysRevLett.88.174102.

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